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趣谈“九连环与格雷码”



  九连环的解法  九连环的历史

  分析解九连环的完全记法,由于每次只动一个环,故两步的表示也只有一个数字不同。下面以五个环为例分析。左边起第一列的五位数是5个环的状态,依次由第一环到第五环。第二列是把这个表示反转次序的五位数,似乎是二进制数,但是与第四列比较就可以看出这不是步数的二进制数表示。 

  第三列是从初始状态到这个状态所用的步数。最右边一列才是步数的二进制表示。

  00000-00000-0-00000

  10000-00001-1-00001

  11000-00011-2-00010

  01000-00010-3-00011

  01100-00110-4-00100

  11100-00111-5-00101

  10100-00101-6-00110

  00100-00100-7-00111

  00110-01100-8-01000

  10110-01101-9-01001

  11110-01111-10-01010

  01110-01110-11-01011

  01010-01010-12-01100

  11010-01011-13-01101

  10010-01001-14-01110

  00010-01000-15-01111

  00011-11000-16-10000

  10011-11001-17-10001

  11011-11011-18-10010

  01011-11010-19-10011

  01111-11110-20-10100

  11111-11111-21-10101

  我们发现,右边一列数恰好是十进制数0到21的二进制数的格雷码! 这当然需要21步。如果把5位二进制数依次写完,就是

  10111-11101-22-10110

  00111-11100-23-10111

  00101-10100-24-11000

  10101-10101-25-11001

  11101-10111-26-11010

  01101-10110-27-11011

  01001-10010-28-11100

  11001-10011-29-11101

  10001-10001-30-11110

  00001-10000-31-11111

  这说明,对于只有5个环的五连环,从初始到状态11111用的不是并不是最多,到状态00001才是最多,用31步。类似,对于九连环,从初始到状态111111111用的不是并不是最多,到状态000000001才是最多,用511步。由于格雷码111111111表示二进制数101010101,表示十进制数341,故从初始状态到9个环全部上去用341步。这就是九连环中蕴涵的数学内涵。

  注 由二进制数转换为格雷码:从右到左检查,如果某一数字左边是0,该数字不变;如果是1,该数字改变(0变为1,1变为0)。例,二进制数11011的格雷码是10110.

  由格雷码表示变为二进制数:从右到左检查,如果某一数字的左边数字和是偶数,该数字不变;如果是奇数,该数字改变。

  例 格雷码11011表示为二进制数是10010.

  以上可以用口诀帮助记忆:2G一改零不改,G2奇变偶不变。

  例 设九连环的初始状态是110100110,要求终止状态是001001111,简单解法与完整解法各需要多少步?过程如何?

  解 初始状态110100110,格雷码是011001011,转换为二进制数是010001101,相应十进制数是141.终止状态是001001111,格雷码是111100100,转换为二进制数是101000111,相应十进制数是327.二者差326-141=186,完整解法需要186步。

  简单解法步数,我们由141,327分别求相应的简单步数,

  对于N=141,得到N0=103;对于N=327,N0=242.二者差139,故简单步数139.这个结果很容易在下一页九连环电脑游戏上验证。


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